数学趣味故事：韩信巧点兵中的方程奥妙——韩信点兵的故事

韩信巧点兵中居然用到了数学方程，早在几千年前，古人就学会了把数学运用到各个行业上去了，这篇趣味数学故事既能说明数学的重要性，又能说明数学与其他行业的相关性。那就由童乐福科学网给同学们带来这个趣味故事吧。

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楚汉战争时期，当刘邦与项羽相持于河南荥阳一带时，刘邦手下的大将韩信乘机袭击项羽的后方，攻占了黄河下游原属赵国、齐国的大片领地。刘邦为表彰他的功绩，封他为“齐王”。民间亦称韩信为“三齐王”。

俗语说，“韩信点兵，多多益善”，那么他究竟是怎么个“多多益善”法儿呢？据传说因着他独特的点兵方法，他究竟带了多少兵多少将，除了他自己心中有数外，别人都一无所知。项羽在领略了韩信用兵的厉害之后，岂敢等闲视之。他限期让手下第一谋士范增侦破韩信的兵力情况。范增立即派出自己的心腹潜入韩信军中。这个侦探十分精明能干，很快就当上了韩信的传令兵。但是尽管他耍尽花招，偷看了韩信所有信函、文件、报表，仍未发现他所管辖的兵将的数字。

正在这个侦探急得抓耳挠腮之际，韩信通知说次日需要检阅所有部队，这一下他真是喜出望外。

在整个阅兵过程中，这个侦探一直站在检阅台上，与韩信寸步不离然而始终未听到韩信说出他的兵将总数。最后，在走下检阅台时，才听韩信说：“我们的兵力又增加了一成。”由于以前的兵力是个未知数，现在的兵力当然更加无人知晓。

期限到了，这个侦探只好垂头丧气地回去向范增禀报。范增听了他的述说，勃然大怒：“蠢货，你不会自己数数！”

“大人，小人实在是数不过来。他先后让3人、5人、7人一组的3种队列，迅速从台前走过，可并不都是那样的规律。在若干组过后，又分别出现2人、4人和5人一组的情况，所以小人很快就糊涂了。”

范增沉思片刻，忽有所悟地说：“奥秘就在后面那无规律的数字中。

快拿纸笔来！”然而他算计了半天，仍然毫无结果三齐王点兵妙法的奥妙在哪儿？确实就在队列末尾的尾数上。对于这点，我国古书《孙子算经》已作了如下揭示：“三人同行七十稀，五树梅花二十一，七子团圆正月半，除百零五便得知。”这四句口诀的意思是当一个正整数用3除余P，用5除余m，用7除余n，这个数则可用代数式70p+21m+15n-105k表示。其中p、m、n是一个适当的正整数。显然，这个数多得很。不过，三齐王点兵时，对其队列的编制进行了适当限制——每队总数少于105.这样一来，上述代数式表示的就是一个确定的数了。每队人数一经限定，三齐王点兵时只需看看队尾的不足数（余数），再记住这些不足数的个数，就能算出部队总数了。

例如，故事中那个侦探看到3人一组、5人一组和7人一组的各队队尾的不足数分别为2、4、5，即p=2，m=4，n=5，代入代数式为70×2+21×4+15×5-105k=140+84+75-105k=299-105k因为三齐王的编队原则是每队少于105人，所以取k=2，则每队人数为89；假定他记住的尾数数目是1000，那么他的兵将总数就是89000.当然，每队总人数随队尾不足（余÷数）而异。

不难看出，在有了《孙子算经》的口诀及其代数表达式后，问题就迎刃而解了。那么，这个代数式是怎么求出的呢？

乍一看，一个正整数分别用3、5、7除时，余数分别为p,m,n，求这个数似乎不难，实际上很不容易。我们先设所要求的数为x，在用3、5、7除后余数分别为a,b,c，则有：x=3a+P, x=5b+mx=7c+n用上面的方程是无法解出x的”如果用70乘第一个方程，用21乘第二个方程，用15乘第三个方程，然后将它们相加，则得出：106x=105（2a+b+c）+70+21m+15n，或者x=70+21m+15n-105（x-2a+b+c），由于x-2a+b+c为一正整数，可用k代替，故而得出《孙子算经》上的口诀的代数表达式：x=70p+21m+15n-105k。

与同学们共勉：

把简单的事情想得很复杂，可以发现新领城；把复杂的事情想得很简单，可以发现新定律。——【英】牛顿。

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